Wielokąty wpisane w okrąg

Gdy wszystkie wierzchołki wielokąta leżą na okręgu, to mówimy że wielokąt jest wpisany w okrąg. Możemy też powiedzieć, że okrąg jest opisany na wielokącie.

W każdy okrąg można wpisać różne wielokąty. Natomiast nie na każdym wielokącie można opisać okrąg.

Omówimy teraz warunki, jakie musi spełniać wielokąt, aby istniał okrąg przechodzący przez wszystkie jego wierzchołki.

Obrazki w tym artykule pochodzą z portalu MegaMatma. Polecam zobaczyć klasówki z planimetrii opracowane przez autorów portalu. Mogą okazać się dobrą pomocą przed sprawdzianem.

Symetralna odcinka jest zbiorem punktów jednakowo odległych od obu jego końców.

Ćwiczenie A. Narysuj dowolny odcinek i zaznacz „na oko” kilka punktów, które leżą w jednakowej odległości od jego końców. Skonstruuj symetralną odcinka i sprawdź, na ile dokładnie zaznaczyłeś punkty.

Środek okręgu opisanego na wielokącie musi leżeć w jednakowej odległości od wszystkich wierzchołków wielokąta.

Każdy punkt jednakowo odległy od końców odcinka leży na symetralnej tego odcinka. W takim razie środek okręgu opisanego na wielokącie musi leżeć na symetralnej każdego boku tego wielokąta.

Na wielokącie można opisać okrąg, gdy symetralne wszystkich jego boków przecinają się w jednym punkcie. Wspólny punkt wszystkich symetralnych jest środkiem tego okręgu.

Ćwiczenie B. Narysuj dowolny trójkąt i znajdź konstrukcyjnie punkt, który leży w jednakowej odległości od wszystkich trzech wierzchołków tego trójkąta.

W każdym trójkącie symetralne wszystkich boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, przy czym:

  • w trójkącie równobocznym wysokości trójkąta zawierają się w symetralnych,
  • w trójkącie rozwartokątnym punkt przecięcia się symetralnych znajduje się poza trójkątem.

Ćwiczenie C. Narysuj czworokąt, na którym można opisać okrąg oraz czworokąt, na którym nie można opisać okręgu.

Przypuśćmy, że na pewnym czworokącie można opisać okrąg. Załóżmy, że środek jego wierzchołków leży wewnątrz czworokąta. Promienie tego okręgu poprowadzone do wierzchołków czworokąta dzielą ten czworokąt na cztery trójkąty równoramienne.

Na rysunku obok kąty równe oznaczono w ten sam sposób. Łatwo zauważyć, że w narysowanym czworokącie naprzeciw kąta a+b leży kąt c+d, a naprzeciw kąta a+d leży kąt b+c. Zatem niezależnie od tego, którą parę przeciwległych kątów wybierzemy, suma miar jest taka sama. Wynosi a + b + c + d.

Do podobnego wniosku doszlibyśmy rozważając przypadek, gdy środek okręgu leży poza czworokątem lub na jednym z jego boków.

Wiemy już, że jeśli na czworokącie można opisać okrąg, to sumy miar przeciwległych kątów są równe. Okazuje się, że jest też na odwrót (choć uzasadnienie jest skomplikowane). Jeśli sumy miar przeciwległych kątów czworokąta są równe, to na czworokącie można opisać okrąg. Oba te warunki można sformułować w postaci twierdzenia:

Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów są równe.

W każdym czworokącie suma miar kątów wynosi 360 stopni. Wynika stąd, że w czworokącie wpisanym w okrąg suma miar kątów przeciwległych jest równa 180 stopni.

a + b + c + d = 180 stopni

Reklamy
Opublikowano różne | Otagowano , | Dodaj komentarz

Wariacje z powtórzeniami

Kombinatoryka… Zmora niejednego maturzysty. Wymaga stosowania wielu różnych wzorów, rozpoznawania, z jaką sytuacją mamy do czynienia. Ale nie załamujcie się! Rozwiążcie poniższe zadania, zobaczcie zadania maturalne z kombinatoryki na przykład na MegaMatmie. Po przerobieniu tych kilku zadań wariacje, kombinacje i permutacje staną się łatwe!

DEFINICJA

Wariacją k-wyrazową z powtórzeniami zbioru n-elementowego (k,\ n \in N_+ ) nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg (mogących się powtarzać) elementów zbioru n-elementowego.

Zapamiętaj!
Z k-wyrazowymi wariacjami z powtórzeniami danego zbioru mamy do czynienia wtedy, gdy k razy wybieramy po jednym elemencie ze zwracaniem z tego zbioru.

Zadanie 1
Ile różnych wyników możemy otrzymać rzucając trzy razy monetą?

Rozwiązanie:

Wynikiem rzutu monetą może być orzeł (ozn. o) lub reszka (ozn. r). Przedstawmy możliwe wyniki za pomocą drzewka.

         /\		
        /  \             
       /    \
      /      \	     
     /        \
     O         R	I rzut    
    /  \      /  \	   
   O    R    O    R     II rzut     
  / \  / \  / \  / \	  
  O R  O R  O R  O R    III rzut

Otrzymane wyniki możemy przedstawić w postaci następujących ciągów
(0, 0, 0), (0, 0, r), (0, r, 0), (0, r, r), (r, 0, 0), (r, 0, r), (r, r, 0), (r, r, r).

Są to 3-wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru dwuelementowego i jest ich wszystkich 8.

Odpowiedź: Wszystkich możliwych wyników trzykrotnego rzutu monetą jest 8.

TWIERDZENIE

Liczba k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego
(ozn. W_n^k wyraża się wzorem:
W_n^k = n^k , gdzie k,\ n \in N_+

Zadanie 2
Na ile różnych sposobów można włożyć pięć różnych przedmiotów do trzech szuflad?

Rozwiązanie:

Ponumerujemy szuflady od 1 do 3, a przedmioty oznaczmy literami A, B, C, D i E. Umieszczając każdy z pięciu przedmiotów w jednej z szuflad, przyporządkujemy mu numer szuflady, do której został włożony. Zapisując kolejno numery wybranych szuflad tworzymy 5-wyrazowe ciągi zbioru {1, 2, 3}, np. (1, 1, 2, 3, 2), (2, 2, 2, 3, 1), itp.

Kolejność wyrazów jest ważna, wyrazy mogą się powtarzać, zatem mamy do czynienia z 5-wyrazowymi wariacjami z powtórzeniami zbioru 3-elementowego i jest ich:
W_3^5 = 3^5=243

Odpowiedź: Pięć różnych przedmiotów można umieścić w trzech szufladach na 243 różne sposoby.

Czytaj dalej

Opublikowano różne | Otagowano , , , | Dodaj komentarz

Sprytne zadanie – ważenie kul

Oto nietrudne zadanie na logiczne myślenie, które znalazłam, a jakże na forum. Oto jego treść:

W czterech torebkach mamy po 5 kul, przy czym w trzech torebkach każda z kul waży 10 gramów, a w czwartej tylko 9 gramów. W jaki sposób za pomocą jednego ważenia na wadze szalkowej, posługując się odważnikami, można sprawdzić, w której torbie znajdują się lżejsze
kule?

Nie czytajcie od razu rozwiązania… Spróbujcie na nie wpaść.

Ilustracja do zagadki logicznej.
Już wiesz, jak sprawdzić w której torebce są lżejsze kulki?

Czytaj dalej

Opublikowano logika | Otagowano | Dodaj komentarz

Kapitalizacja i procenty cz. III

Po prawie trzech miesiącach przerwy, powracam do pisania! Tym razem zadanie zamieszczone na forum przez szwagra, a zadanie dotyczy, a jakże kapitalizacji i procentów:

Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało razem w spadku 84100zł. Kwotę tę złożono do banku, który stosuje kapitalizację roczną, a stopa procentowa wynosi 5%. Każde z dzieci otrzyma swoją część spadku wraz z ukończeniem 21 roku życia. Życzeniem spadkodawcy było, aby w przyszłości obie wypłaty były takie same (zaokrąglając do pełnych złotówek) Ile trzeba wpłacić na konto każdego z dzieci?

Czytaj dalej

Opublikowano matematyka finansowa | Otagowano , , , | 1 komentarz

Kapitalizacja i procenty cz. II

Oto kolejne zadanie z matematyki finansowej z zastosowaniem procentów w lokatach.

Szukana: stopa procentowa

Przy jakiej stopie procentowej rocznej i kapitalizacji miesięcznej z kapitału 1000 zł uzyskamy po 6 latach kwotę 1800?

Skorzystamy ze wzoru na wysokość kapitału K_n po n okresach kapitalizacji w oprocentowaniu składanym: K_n=K_0(1+\frac{p}{100})^n,
gdzie: K_0 to wysokość kapitału początkowego, n to liczba okresów kapitalizacji (kwartałów, miesięcy, lat), p% to stopa procentowa, taka sama w każdym okresie.

K_n=1600, K_0=1000, n=12*6=72, p=\frac{s}{12}     szukane: s%

1600=1000(1+\frac{\frac{s}{12}}{100})^{72}
\frac{1600}{1000}=(1+\frac{s}{1200})^{72}
1,6=(1+\frac{s}{1200})^{72}  |^{-72}
1,0654=1+\frac{s}{1200}
0,00654=\frac{s}{1200}
7,848=s

Przekształcając otrzymaną równość obliczyliśmy szukaną stopę procentową. Roczna stopa procentowa na tej lokacie wynosi ok. 7,848\%

Opublikowano matematyka finansowa | Otagowano , , , | Dodaj komentarz

Wektory – prędkość oddalania się ciał

Na forum znalazłam ciekawe zadanie z fizyki zamieszczone przez tomka91, w którym znajdziemy również elementy geometrii analitycznej.

Dwie proste przecinają się pod kątem 60^{\circ}. Z punktu O ich przecięcia wyruszają dwa ciała. Pierwsze ciało porusza się ruchem jednostajnym z prędkością 5km/h, drugie porusza się zgodnie z prawem S=2t^2+1, gdzie S oznacza drogę w kilodmetrach, a t czas w godzinach. Określić z jaką prędkością oddalają się one od siebie w chwili, gdy ciało pierwsze znajduje się w odległości 10 km od punktu O.

Spróbujmy zebrać niezbędne dane:

– gdy pierwsze ciało oddaliło się o 10 km z prędkością v_1=5\frac{km}{h} od punktu O, minęły dwie godziny od startu, czyli t=2h;

Wyznaczanie prędkości chwilowej

Analizujemy wzór na drogę w ruchu przyspieszonym:
S=v_0t+\frac{at^2}{2}+S_0  (v_0 prędkość początkowa, a-przyspieszenie S_0 – droga początkowa).
Porównujemy z naszym wzorem:
S=0*t+{2t^2}+1=0*t+\frac{4t^2}{2}+1 i widzimy parametry niezbędne do wyznaczenia prędkości v_2=v_0+at=0+4t=4*2=8\frac{km}{h}

Odejmowanie wektorów

A teraz czas na odrobinę matematyki: aby obliczyć prędkość oddalania się tych ciał należy odjąć wektory ich prędkości.
Niech prędkość drugiego ciała \vec{v_2}=[0,8], wtedy z tw. sinusów obliczymy współrzędne drugiego wektora, nachylonego do niego pod kątem 60 stopni.
\vec{v_1}=[x,y]
Z tw. sinusów \frac{1}{5}=\frac{sin60^{\circ}}{x}=\frac{sin30^{\circ}}{y}
\frac{1}{5}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{x}    x=\frac{5}{2}\sqrt{3}    \frac{1}{5}=\frac{\frac{1}{2}}{y}    y=\frac{5}{2}
Czyli \vec{v_1}=[\frac{5}{2}\sqrt{3},\frac{5}{2}]

Następnie odejmujemy wektory: \vec{v}=\vec{v_1}-\vec{v_2}=[v_{1x}-v_{2x},v_{1y}-v{2y}]=[-\frac{5}{2}\sqrt{3}, 8-\frac{5}{2}]=[-\frac{5}{2}\sqrt{3}, \frac{11}{2}]
i liczymy długość wektora \vec{v} ze wzoru Pitagorasa:
|v|=\sqrt{(\frac{5}{2}\sqrt{3})^2+(\frac{11}{2})^2}=7\frac{km}{h}.

Czyli prędkość oddalania się ciał wynosi 7 \frac{km}{h}.

Opublikowano matematyka, różne | Otagowano , , | 2 Komentarze

Kapitalizacja i procenty cz. I

Na tym forum matematycznym znalazłam kilka zadań z matematyki finansowej, do których nikt nie zamieścił rozwiązań. Postaram się kolejno je rozwiązywać.

Jaki kapitał a) w oprocentowaniu prostym, b) w oprocentowaniu złożonym, utworzy po 5 latach kwotę 7 500 zł, jeżeli kapitalizacja jest roczna i roczna stopa procentowa wynosi 8 %.

Wzory na wysokość kapitału K_n po n okresach kapitalizacji:
Oprocentowanie proste: K_n=K_0(1+\frac{np}{100}),
Oprocentowanie składane: K_n=K_0(1+\frac{p}{100})^n,
gdzie: K_0 to wysokość kapitału początkowego, n to liczba okresów kapitalizacji (kwartałów, miesięcy, lat), p% to stopa procentowa, taka sama w każdym okresie.

A więc dane wyglądają następująco:

K_n=7500zl, n=5, p=8

A szukamy K_0.
W oprocentowaniu prostym to : K_0=\frac{K_n}{(1+\frac{np}{100})}=\frac{7500}{1+\frac{5*8}{100}}=\frac{7500}{1,4}=5357,14zl,
w oprocentowaniu składanym: K_0=\frac{K_n}{(1+\frac{p}{100})^n}=\frac{7500}{(1+\frac{8}{100})^5}=\frac{7500}{1,47}=5102,04zl.

Opublikowano matematyka finansowa | Otagowano , , , | Dodaj komentarz